8강- 확률변수와 확률분포 (Random Variables and Their Distributions)

이항분포 $Bin(n, p)$

• 모 수 $n, p$ ($n$은 양의 정수, $p$는 0과 1 사이의 값)의 값에 의해서 분포가 결정된다.

확률분포 해석하는 방법

• 예) 이항확률분포 $X \sim B in(n, p)$
  • $n$번의 독립적인 $Bernoulli(p)$ 시행에서 성공한 횟수
• 지시확률변수(indicator random variables)
  • $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$ ⇒ $X_1 \dots X_n \sim^{idd} Bern(p)$
  • $X_j = \text{성공한 경우 1, 실패한경우 0}$
• 확률질량함수(PMF) → 사건의 발생 확률을 구할 수 있다.
  • $P(X = k) = \binom{n}{k}p^kq^{n-k}, \ (q=1-p)$
• 누적분포함수(CDF)
  • $X \le x$ 이라는 사건의 확률을 구할 수 있다.
  • $F(X) = P(X \le x)$ 확률질량함수(이산확률에서만)
    • $p_j = P(X=a_j)$ 조건: $p_j \ge 0, \ \sum_jp_j = 1$
• $X \sim Bin(n, p), \ Y \sim Bin(m, p)$ 이고 $X$와 $Y$는 서로 독립이다. ⇒ $X + Y \sim Bin(m + n, p)$

  • PMF 증명: $X$또는 $Y$의 값을 안다는 가정하에 식을 전개한다.

    $$ \begin{aligned} P(X + Y = k) &= \sum_{j=0}^{k}P(X + Y = k | X = j)P(X = j) \\ &= \sum_{j=0}^{k}P(Y = k - j|X=j)\binom{n}{j}p^jq^{n-j} \\ &= \sum_{j=0}^k\binom{m}{k-j}p^{k-j}q^{m-k+j} \binom{n}{j}p^jq^{n-j} \\ &= p^kq^{m+n-k}\sum_{j=0}^{k}\binom{m}{k=j}\binom{n}{j} \\ &= p^kq^{m+n-k}\binom{m+n}{k} \end{aligned} $$

초기하분포(hypergeometric distribution)

• 복원을 하지 않는 표본추출이라는 점에서 이항분포와 차이가 있다.
• 표본공간이 충분히 허거 복원 여부가 큰 차이 나지 않을 때 초기하 분포는 이항분포와 근사하다
  • 예) 5억개의 흰공과 5억개의 검은공이 있는 상자에서 10개의 공을 뽑을때는 복원 여부가 큰 차이 없다.

$$ \sum_{k=0}^w P(X = k) = \large \frac{1}{b+w \choose n}\sum_{k=0} ^w {w \choose k}{b \choose n-k} = {b+w \choose n} \large {\frac {1} {b+w \choose n}} $$

9강- 기댓값, 지시확률변수와 선형성 (Expectation, Indicator Random Variables, Linearity)

누적분포함수(CDF)

• $F(X) = P(X \le x)$ 실수 $x$ 에 대한 함수
• 증가함수 (오른쪽으로 갈수록 1에 수렴한다.)
• 우연속 함수 (오른쪽에서 왼쪽으로 갈땐 열려있다.)