<aside> 💡 이 페이지는 **[하버드] 확률론 기초: Statistics 110** 강의를 보고 정리하였습니다.
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$$ \begin{aligned} f(x) &= \lambda e^{-\lambda x} & x > 0 \ (0 \ otherwise) \\ \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} &= 1 \end{aligned} $$
$$ \int_0^x\lambda e^{-\lambda t} dt = 1 - e^{-\lambda t} $$
$Y = \lambda X$ 일 때, $Y \sim Expo(1)$ 이다.
$Y$의 CDF: $P(Y \le y) = P(X \le \frac{y}{\lambda}) = 1- e^{-y}$
$$ \begin{aligned} E(Y) &= \int_0^\infty ye^{-y}dy \\ & u =y, \ dv = e^{-y} \\ & du =y, \ v = -e^{-y} \\ &=[(−ye^{−y})]_0^∞+ \int^\infty _0 e^{-y}dy = 1 \end{aligned} $$
$$ Var(Y) = E(Y^2) - \{E(Y)\}^2 = \int_0^\infty y^2e^ydy - 1 = 1 $$
$$ X = \frac{Y}{\lambda} \rightarrow E(X) = \frac{1}{\lambda} \\ Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} $$
$P(X \ge s+t|X \ge s) = P(X \ge t)$ (s초 동안 기다린 후 t 초 기다리는 것과 그냥 t초 기다리는 것의 확률이 같다.)
$$ \begin{aligned} P(X \ge s) &= 1- P(X \le s) = e^{-\lambda s} \\ P(X \ge s+t|X \ge s) &= \frac{P(X \ge s+t, X\ge s)}{P(X \ge s)}= \frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} \\ &= P(X\ge t) \end{aligned} $$